Как сделать выпадающее меню при наведении на категорию?
В каких файлах копать?

Пробовала в файле treeManagement.js
заменить
.click(function()

на
.hover(function()

Проблема решается, но частично. При наведении на название категории список подкатегорий выпадает, однако при попытке прогулятся по списку подкатегорий он тут же заезжает обратно.

Как решить?

Нужно использовать hover на родителя.

Лучше всего сделать это на CSS. Пишите в личку - помогу.

Ошибаетесь, это делается при помощи jQuery в первую очередь, ну без css, конечно, никуда не деться.

Можно и на чистом css сделать

Примерчик