Пример: клиент заходит под своим логином, задает вопрос админу сайта. Тот вечером на все вопросы за день отвечает, чтоб на след день клиент вернулся и прочитал ответ.
Но хотелось бы это не в качестве личной почты, а в стиле чата или чего-то подобного. Желательно бесплатно, существуют ли такие модули?

Вам подойдёт модуль фак - где вы сами все вопросы и опишите - есть и бесплатная версия