Нужно перенести сайт на другой домен, хостинг оставляем тем же.
Т.е. нужна просто полная копия сайта (логотипы и прочее уже после будут заменены).
На старый сайт просто поставить редирект.

На новый домен привязал SSL.

Подскажите пожалуйста как это правильно сделать, чтоб ничего не потерялось.

Переносите сайт.
Ставите на старом домене 301 редирект на все страницы и все.

Почитайте про редирект через htaсcess. Примеров на эту тему в сети море.

В найстройках сайта раздел seo . поменяйте в админку на нужноый домен www