Прошу помощи в решении проблемы.
При добавлении следующего товара в корзину - предыдущий товар исчезает с корзины. В корзине получается всегда только одна единица товара. Такое происходит только у некоторых покупателей, примерно у одного с пяти человек.

Интересно.
Без доступа к ftp, решить данную проблему невозможно, необходимо знать какие правки были выполнены, какие контроллеры или классы переопределены, возможно установлены доп. модули.
Отправьте в ЛС доступ к ftp и опишите как получить данную ошибку.

Данные пользователи авторизованы, и если да - происходит ли выход (деавторизация)?
Если данные клиенты не авторизованы - после авторизации - ошибка пропадает?

Данные пользователи авторизованы, выход не происходит. Причем некоторые пользователи ранее уже успешно оформляли заказ, и такая проблема не возникала.

Слишком много вариантов, подобное возможно реализовать через скрипты в самом ИМ (про добавлении товара отправлять запрос на удаление товара), через модули, через переопределения и тд.
Удалённо решить задачу невозможно:
- необходимо смотреть что происходит в БД;
- необходимо профилировать скрипт добавления товара в корзину.