Вы меня невнимательно читаете. Вы не могли удалить, если вы конечно не super user на сервере. Вы не видите этих файлов, настроек сервера и тому подобное. Вы видите только вашу папку куда сайт надо заливать.
поменяйте права на папку с изображениями. Поставьте 777 и попробуйте.

Попробуйте в админке перегенерировать изображения. А еще неплохо было бы посмотреть логи, если такое имеется на сервере.

Размытое на странице товаров потому что 129px ? 96px (в масштабе 300px ? 300px) вот и замылило.
Смотреть надо настройки размеров изображений в админ части
Посмотреть Метод генерации размеров изображений товара: должно быть автоматически.

Возможно вы нажали перегенирировать. А поскольку хостинг обычный то это могло занять довольно много времени.

Возможно, и так. А нажимала я раз 5. если не больше. Там стоит предупреждение, что процесс долгий. Но картинок-то - всего ничего, поэтому я не думала, что это действительно так долго, почти час.

В базу вбивалась одна картинка для каждого товара. Картинка показывается в разных размерах в раазных блоках ( в популярных, просмотренных товарах и др.), при этом нещадно коверкаясь. Манипуляции с изменением размеров изображений в админпанели наcтройки>изображения только привели к исчезновению какой-нибудь из картинок.
Может вбивать в базу  изображение во всех размерах от small и дальше?

нещадно коверкаясь

Что значит ? приложите что получилось.